Иконка тегов Теги

Иконка подборок Темы

Дата публикации: 11.01.2018; Автор: Евгений; Категория: Новости науки и техники; Теги: математика, интересно знать;

Шесть задач, за решение которых заплатят миллион долларов

Сегодня хочется предложить вам шесть самых сложных математических задач, которые человечество пока не решило. Кто знает, может, именно вы найдете решение одной из открытых проблем математики и заработаете миллион долларов? Данный список из семи «задач тысячелетия» составил в 2000 году Математический институт Клэя. Ученые описали их как «важные классические задачи, решение которых не найдено вот уже в течение многих лет». За решение каждой из них институт предлагает вознаграждение в размере миллиона долларов США.

Шесть задач, за решение которых заплатят миллион долларов

Пока решена только одна из задач тысячелетия — гипотеза Пуанкаре. За нее в 2006 году присудили Филдсовскую премию российскому математику Григорию Перельману, однако тот отказался принять награду. Открытыми остались шесть проблем.

Проблема перебора

Вопрос короткий: равны ли классы сложности P и NP?

Классом P называют множество задач, которые компьютер может решить «быстро» (то есть за полиномиальное время). К ним относят базовые арифметические действия, сортировку списков, поиск по таблице с данными.

Класс NP — это задачи, правильность ответа на которые можно быстро проверить. Например, задача о сумме. Предположим, что у вас есть монеты номиналом 2, 3, 5, 6 и 7 рублей, по одной каждого номинала, и вы хотите без сдачи оплатить покупку стоимостью 21 рубль. Можно ли набрать из данных монет сумму, равную 21?

В этой задаче для получения ответа нужно перебрать разные варианты, а чтобы доказать, что решения нет, - вообще перебрать все возможные варианты. Если количество монет увеличить на несколько порядков, решение выглядит совсем непрактичным. При этом результат проверить легко — просто сложить номиналы всех монет.

Суть «задачи тысячелетия» формулируется так: равны ли классы P и NP? Если легко проверить правильность решения задачи, может ли быть так же легко решить эту задачу? Большинство специалистов уверены, что ответ отрицательный. Однако доказать этого пока никто не смог. Если же вдруг окажется, что P = NP, то человечество ждет переворот в криптографии.

Уравнения Навье — Стокса

Уравнения Навье — Стокса описывают, как потоки жидкости или газа ведут себя при определенных условиях. Их применяют в метеорологии, в конструировании самолетов, при расчете аэродинамики автомобилей. Однако в аналитическом виде решения этих уравнений найдены лишь в некоторых частных случаях.

Часть уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости

Часть уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости

«Задача тысячелетия» не требует найти явные решения уравнения. Вопрос такой: если известно состояние жидкости в определенный момент времени и характеристики ее движе­ния — существует ли решение, которое будет вер­но для всего будущего времени?

Чтобы получить премию, достаточно доказать или опровергнуть существование и гладкость решения в любом из двух вариантов, предложенных институтом Клэя. Возможно, ответ на вопрос позволит метеорологам наконец делать точные долгосрочные прогнозы.

Массовая щель

Математическая теория Янга-Миллса объединяет электромагнитное, сильное и слабое взаимодействие на основе более общей математической теории, связанной с калибровочной симметрией. На основе этих уравнений есть гипотеза о так называемой массовой щели.

В теории относительности частица, которая имеет ненулевую массу покоя, не может двигаться со скоростью света. «Щель» в спектре масс позволяет квантовым частицам иметь конечную ненулевую массу, несмотря на то что связан­ные с ними классические волны движутся со скоростью света.

Эксперименты подтверждают существование массовой щели. Однако этой теории необходимо теоретическое обоснование.

Гипотеза Римана

Простые числа — это те, которые делятся только на единицу и на само себя. К простым числам относятся 2, 3, 5, 7, 11 и так далее. Люди не нашли какой-либо закономерности в том, как простые числа распределены среди натуральных.

Однако немецкий математик Бернхард Риман предложил точную формулу для количества простых чисел, не превышающих заданной величины. Эту функцию называют дзета-функцией Римана. Гипотеза Римана утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции лежат на прямой линии.

Гипотезу Римана уже проверили для первых 10 000 000 000 000 решений (именно так, десяти триллионов). Правда, с математической точки зрения 10 триллионов примеров подтверждений абсолютно не заменяют полное доказательство, поэтому задача остается нерешенной. За доказательство гипотезы институт Клэя готов выплатить миллион долларов, а за публикацию контрпримера — лишь некоторую часть от этой суммы.

Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера

Математики всегда интересовались проблемой описания всех решений в целых числах x, y, z алгебраических уравнений. Пример такого уравнения — x2 + y2 = z2. Его целые решения уже описал Евклид, однако для более сложных уравнений это может быть чрезвычайно сложным.

Доказано, что у людей нет способа определить, в каких случаях такие уравнения имеют решения в целых числах, а в каких — нет. Например, у уравнения xn + yn = zn точно нет целых решений при n > 2. Это Великая теорема Ферма, на ее доказательство у математиков ушло больше 300 лет.

Однако в частном случае — когда решения образуют абелево многообразие, Брайан Бёрч и Питер Свиннертон-Дайер предположили, что число решений определяется значением связанной с уравнением дзета-функции в точке 1. Если значение дзета-функции в точке 1 равно 0, то имеется бесконечное число решений, и наоборот, если не равно 0, то имеется только конечное число таких решений.

Гипотеза Ходжа

Формулировка этой гипотезы выглядит так: «На любом невырожденном проективном комплексном алгебраическом многообразии любой класс Ходжа представляет собой рациональную линейную комбинацию клас­сов алгебраических циклов». Нужно доказать или опровергнуть это утверждение.

О чем речь? Решения уравнения у = Зх + 1 можно представить на координатной сетке как прямую. Корни квадратного уравнения дадут нам параболу. Усложнять можно бесконечно — например, поверхности с таким уравнением

соответствует этот график:

График

Математики не ограничивают себя тремя измерениями. К примеру, в четырехмер­ном пространстве у объекта будет четыре координаты (х, у, z, w). Измерений может быть сколько угодно, число уравнений и переменных тоже может быть любым (не пытайтесь это представить). К тому же переменные могут быть комплексными и принимать бесконечные значения разумным образом.

Гипотеза Ходжа говорит о глубокой связи между топологией, алгеброй, геометрией и анализом. Она предлагает добавить в инструментарий специалиста по алгебраиче­ской геометрии два новых инструмента: топологические инва­рианты и уравнение Лапласа. Если гипотеза верна, эти инструменты обретут новое значение и станут потенциальным средством поиска ответов на множество вопросов.

Оригинал публикации на tut.by

Иконка загрузки

Понравилась публикация?

0

Поделитесь с друзьями


Популярные публикации сайта.

Технология искусственной еды

Совсем недавно был построен прогноз, что к 2050 году человечеству грозит голод. Но к счастью прогресс не стоит на месте. Примером спасительной технологии является изобретение финских ученых Центра исследований, которые научились выращивать еду в реакторе.

Доклад Freedom House 2018

Демократия и свобода слова в опасности: за минувшее 10-летие ситуация с демократическими институтами в большинстве стран мира ухудшилась. Об этом говорится в ежегодном докладе неправительственной организации Freedom House.

Над поверхностью Марса появилось облако

13 сентября орбитальная станция Mars Express сфотографировала необыкновенное облако поблизости от экватора Красной планеты. Эту узкую и длинную (1500 км) светлую полоску можно было разглядеть даже с Земли — с помощью телескопа, разумеется. Что это такое?

Последние предупреждения Стивена Хокинга

Посмертная книга астрофизика Стивена Хокинга несет явное предупреждение людям об опасности манипулирования ДНК. Свое мрачное предсказание ученый сделал в сборнике очерков и эссе в рамках подготовки книги «Краткие ответы на большие вопросы»

Адронный коллайдер может сжать Землю

Английский космолог Мартин Рис утверждает, что существует небольшая, но реальная возможность уничтожения планеты или даже Вселенной из-за экспериментов с ускорителями частиц, подобных тем, что проводят на Большом адронном коллайдере в ЦЕРНе.

Найдено утерянное письмо Галилея

Недавно историк Сальваторе Риккардо из Университета Бергамо прилетел в Лондон, чтобы найти в лондонских библиотеках заметки на полях работ Галилео Галилея, и случайно обнаружил письмо, написанное самим знаменитым ученым.

Образование в СССР

На сайте можно найти множество различных публикаций на тему СССР, но вот как то до этого тему образования мы обходили стороной. Давайте сегодня мы исправим этот пробел и вспомним основные шаги развития системы образования СССР.

У человека заметили «сверхспособность» птиц

Исследователи выявили, что человеческий мозг способен реагировать на контролируемые изменения магнитного поля. Результаты эксперимента описаны на страницах журнала eNeuro.

Тукуланы в Якутии

Друзья, что вы себе представляете, когда речь идёт о тайге? Думаю все сразу вспомнят о зарослях хвойных деревьев, болотах... Возможно кто то из наших постоянных читателей вспомнит о Ленских столбах... Но никак не о... Песчаных массивах, песчаных дюнах...

Почему с возрастом время «летит» быстрее

Почему в детстве дни кажутся бесконечными, а во взрослом возрасте пролетают гораздо быстрее? Исследователь из США предложил новое объяснение этому явлению.

Ленские столбы

Во все времена это природное образование вызывало у людей благоговейный трепет. Рядовые люди сюда даже не пытались попасть страшась гнева духов скал. Многие считали, что столбы — это застывшие изваяния людей, созданные неведомыми потусторонними силами.

Почему плохой сон провоцирует сердечные заболевания

Исследователи из Гарварда открыли, связывающую бессонницу с заболеваниями сердечно-сосудистой системы. Благодаря лабораторным экспериментам на мышах ученые выяснили, связующим «звеном» является неправильная работа гипоталамуса.

Логотип

Мы в Соцсетях:

Мы в TelegramМы ВконтактеМы в ТвиттерМы на фейсбукМы в одноклассниках
Иконка загрузки
История СССР Новости науки и техники О технологиях О психологии Теории заговора Интернет фейки