Иконка тегов Теги

Иконка подборок Темы

Дата публикации: 11.01.2018; Автор: Евгений; Категория: Новости науки и техники; Теги: математика, интересно знать;

Шесть задач, за решение которых заплатят миллион долларов

Сегодня хочется предложить вам шесть самых сложных математических задач, которые человечество пока не решило. Кто знает, может, именно вы найдете решение одной из открытых проблем математики и заработаете миллион долларов? Данный список из семи «задач тысячелетия» составил в 2000 году Математический институт Клэя. Ученые описали их как «важные классические задачи, решение которых не найдено вот уже в течение многих лет». За решение каждой из них институт предлагает вознаграждение в размере миллиона долларов США.

Шесть задач, за решение которых заплатят миллион долларов

Пока решена только одна из задач тысячелетия — гипотеза Пуанкаре. За нее в 2006 году присудили Филдсовскую премию российскому математику Григорию Перельману, однако тот отказался принять награду. Открытыми остались шесть проблем.

Проблема перебора

Вопрос короткий: равны ли классы сложности P и NP?

Классом P называют множество задач, которые компьютер может решить «быстро» (то есть за полиномиальное время). К ним относят базовые арифметические действия, сортировку списков, поиск по таблице с данными.

Класс NP — это задачи, правильность ответа на которые можно быстро проверить. Например, задача о сумме. Предположим, что у вас есть монеты номиналом 2, 3, 5, 6 и 7 рублей, по одной каждого номинала, и вы хотите без сдачи оплатить покупку стоимостью 21 рубль. Можно ли набрать из данных монет сумму, равную 21?

В этой задаче для получения ответа нужно перебрать разные варианты, а чтобы доказать, что решения нет, - вообще перебрать все возможные варианты. Если количество монет увеличить на несколько порядков, решение выглядит совсем непрактичным. При этом результат проверить легко — просто сложить номиналы всех монет.

Суть «задачи тысячелетия» формулируется так: равны ли классы P и NP? Если легко проверить правильность решения задачи, может ли быть так же легко решить эту задачу? Большинство специалистов уверены, что ответ отрицательный. Однако доказать этого пока никто не смог. Если же вдруг окажется, что P = NP, то человечество ждет переворот в криптографии.

Уравнения Навье — Стокса

Уравнения Навье — Стокса описывают, как потоки жидкости или газа ведут себя при определенных условиях. Их применяют в метеорологии, в конструировании самолетов, при расчете аэродинамики автомобилей. Однако в аналитическом виде решения этих уравнений найдены лишь в некоторых частных случаях.

Часть уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости

Часть уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости

«Задача тысячелетия» не требует найти явные решения уравнения. Вопрос такой: если известно состояние жидкости в определенный момент времени и характеристики ее движе­ния — существует ли решение, которое будет вер­но для всего будущего времени?

Чтобы получить премию, достаточно доказать или опровергнуть существование и гладкость решения в любом из двух вариантов, предложенных институтом Клэя. Возможно, ответ на вопрос позволит метеорологам наконец делать точные долгосрочные прогнозы.

Массовая щель

Математическая теория Янга-Миллса объединяет электромагнитное, сильное и слабое взаимодействие на основе более общей математической теории, связанной с калибровочной симметрией. На основе этих уравнений есть гипотеза о так называемой массовой щели.

В теории относительности частица, которая имеет ненулевую массу покоя, не может двигаться со скоростью света. «Щель» в спектре масс позволяет квантовым частицам иметь конечную ненулевую массу, несмотря на то что связан­ные с ними классические волны движутся со скоростью света.

Эксперименты подтверждают существование массовой щели. Однако этой теории необходимо теоретическое обоснование.

Гипотеза Римана

Простые числа — это те, которые делятся только на единицу и на само себя. К простым числам относятся 2, 3, 5, 7, 11 и так далее. Люди не нашли какой-либо закономерности в том, как простые числа распределены среди натуральных.

Однако немецкий математик Бернхард Риман предложил точную формулу для количества простых чисел, не превышающих заданной величины. Эту функцию называют дзета-функцией Римана. Гипотеза Римана утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции лежат на прямой линии.

Гипотезу Римана уже проверили для первых 10 000 000 000 000 решений (именно так, десяти триллионов). Правда, с математической точки зрения 10 триллионов примеров подтверждений абсолютно не заменяют полное доказательство, поэтому задача остается нерешенной. За доказательство гипотезы институт Клэя готов выплатить миллион долларов, а за публикацию контрпримера — лишь некоторую часть от этой суммы.

Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера

Математики всегда интересовались проблемой описания всех решений в целых числах x, y, z алгебраических уравнений. Пример такого уравнения — x2 + y2 = z2. Его целые решения уже описал Евклид, однако для более сложных уравнений это может быть чрезвычайно сложным.

Доказано, что у людей нет способа определить, в каких случаях такие уравнения имеют решения в целых числах, а в каких — нет. Например, у уравнения xn + yn = zn точно нет целых решений при n > 2. Это Великая теорема Ферма, на ее доказательство у математиков ушло больше 300 лет.

Однако в частном случае — когда решения образуют абелево многообразие, Брайан Бёрч и Питер Свиннертон-Дайер предположили, что число решений определяется значением связанной с уравнением дзета-функции в точке 1. Если значение дзета-функции в точке 1 равно 0, то имеется бесконечное число решений, и наоборот, если не равно 0, то имеется только конечное число таких решений.

Гипотеза Ходжа

Формулировка этой гипотезы выглядит так: «На любом невырожденном проективном комплексном алгебраическом многообразии любой класс Ходжа представляет собой рациональную линейную комбинацию клас­сов алгебраических циклов». Нужно доказать или опровергнуть это утверждение.

О чем речь? Решения уравнения у = Зх + 1 можно представить на координатной сетке как прямую. Корни квадратного уравнения дадут нам параболу. Усложнять можно бесконечно — например, поверхности с таким уравнением

соответствует этот график:

График

Математики не ограничивают себя тремя измерениями. К примеру, в четырехмер­ном пространстве у объекта будет четыре координаты (х, у, z, w). Измерений может быть сколько угодно, число уравнений и переменных тоже может быть любым (не пытайтесь это представить). К тому же переменные могут быть комплексными и принимать бесконечные значения разумным образом.

Гипотеза Ходжа говорит о глубокой связи между топологией, алгеброй, геометрией и анализом. Она предлагает добавить в инструментарий специалиста по алгебраиче­ской геометрии два новых инструмента: топологические инва­рианты и уравнение Лапласа. Если гипотеза верна, эти инструменты обретут новое значение и станут потенциальным средством поиска ответов на множество вопросов.

Оригинал публикации на tut.by

Иконка загрузки

Понравилась публикация?

0

Поделитесь с друзьями


Популярные публикации сайта.

17 лет до климатической точки невозврата

Если человечество не начнет принимать меры по борьбе с изменением климата до 2035 года, оно не сможет ограничить рост глобальной средней температуры безопасными двумя градусами Цельсия — а шанс остановить потепление на 1,5 градуса уже практически потерян.

Физики воссоздали часть Большого взрыва

Ученые смогли воссоздать процесс сверхбыстрого расширения Вселенной в первые мгновения после Большого взрыва, наблюдая за расширением самой холодной жидкости на Земле. Их выводы были представлены в журнале Physical Review X.

На панамском острове обезьяны вошли в Каменный век

Группа белоплечих капуцинов начала использовать каменные инструменты, чтобы разбивать орехи и панцири моллюсков. Эти обезьяны стали четвертой группой приматов, которая вступила в Каменный век.

Американец доказал, что Земля не плоская, с помощью баскетбольного мяча

Главный аргумент «плосковеров» заключался в том, что они видят плоский горизонт. Поэтому 36-летний разработчик по имени Джефф в шутку доказал неправоту теории с помощью баскетбольного мяча и фотоаппарата с макрообъективом.

Медики заставили иммунитет уничтожить рак груди

Молекулярные биологи из США впервые успешно "перепрограммировали" иммунные клетки и заставили их уничтожить опухоль в груди женщины и все ее метастазы. Женщина прожила уже 22 месяца после лечения.

Ученые нашли новый способ похудения

Необычное полезное свойство жевательной резинки открыли японские ученые. Как оказалось, если во время ходьбы жевать резинку, то это поможет вам быстрее похудеть.

На какие способы заработка не стоит тратить силы

Когда среднестатистический пользователь сети начинает интересоваться темой заработка в интернете, он первым делом отправляется в поисковые системы и ищет там наиболее простые способы обогатиться. Но на какие из них даже не стоит обращать внимание?

Технология искусственной еды

Совсем недавно был построен прогноз, что к 2050 году человечеству грозит голод. Но к счастью прогресс не стоит на месте. Примером спасительной технологии является изобретение финских ученых Центра исследований, которые научились выращивать еду в реакторе.

Как выбросить плохие мысли из головы?

Как выбросить плохие мысли из головы? Предлагаем несколько советов от опытного психолога. Выберите один или несколько из описанных способов, чтобы разрушить цикличное токсическое мышление, которое возникает, когда вы не можете выбросить плохие мысли...

Монитор, сохраняющий зрение

Проблема усталости глаз у тех, кто работает за монитором, известна давно. Решение проблемы видится в технологиях, работающих на отражение естественного света. Одна из таких технологий носит название E-Ink, имитирующая обычные чернила.

Как Анна Иоанновна русских олигархов обманула

В то время Анна Иоанновна была вдовой курляндского герцога – бездетная, одинокая и немолодая женщина, у которой в Петербурге нет группы поддержки. Лучше кандидатуры не сыскать. Ведь олигархи хотели пригласить ее на престол не просто так, а с условиями...

Антикитерский механизм

Этот артефакт, поднятый ловцами губок со дна Эгейского моря, долгие годы хранился в музее и не привлекал к себе особого внимания. Но позже пришло понимание, что это не мистификация, а поразительно сложный механизм, датируемый вторым веком до нашей эры...

Логотип

Мы в Соцсетях:

Мы ВконтактеМы в ТвиттерМы на фейсбукМы на google+Мы в одноклассниках
Иконка загрузки
История СССР Новости науки и техники О технологиях О психологии Теории заговора Интернет фейки